З картону вирізано 2 правильних восьмикутники. У вершинах одного з них поставлені по черзі (проти годинникової стрілки) числа від 1 до 8. Чи можна розставити в вершинах другого восьмикутника ті самі числа так, щоб у будь-якому накладенні другої фігури на першу яка-небудь вершина потрапляла у вершину з тим самим номером.
Припустімо, що це можливо. Накладемо другий восьмикутник так, щоб одиниці співпадали. Хай при цьому проти числа і на верхньому восьмикутнику на нижньому знаходиться цифра а1 (а1 = 1, 2 ..., 8). Для того, щоб поєднати цифри а1 верхнього і нижнього восьмикутника, можна повернути верхній восьмикутник проти годинникової стрілки на кут b1 = 45°, де
b1 = і - а1, якщо і > а1,
і - а1 + 8, якщо і Ј а1
Доведіть, що b1 приймає всі значення 1, 2, ..., 8. Складаючи b1, отримаємо b1 + b2 + ... + b8 = (1 + 2 + ... + 8) - (а1 + а2 + ... + а8) + 8К,
де К - яке-небудь ціле число. Але а1 + а2 + ... + а8 = b1 + b2 + ... + b8 = 1 + 2 + ... + 8 = 36
А 36 не ділиться на 8, то приходимо до протиріччя.
